The Basic Concept and Historical Background of Riemann Hypothesis

Indong Kim

College of Science

Department of Mathematics

Ⅰ. Introduction

1. 연구 목적

소수는 수 가운데에 가장 기본이 되는 수이다. 소수로써 거의 모든 수를 설명할 수 있기 때문이다. 오래 전부터 위대한 수학자들은 소수의 신비와 분포에 관하여 연구하여 왔다.

양재현, 「리만 가설에 관하여」, 2000, p1

1859년에 베른하르트 리만은 베를린 학술원의 회원으로 선정되었다. 베를린 학술원 헌장에 의하면 새로 선출된 회원은 최근의 연구업적을 보고하게 되어 있었다. 리만은 「주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse)」의 제목으로 보고서를 학술원에 제출하였다. 그는 이 보고서에서 리만 제타함수의 성질을 열거하고, 당시의 최대의 미해결 문제였던 소수정리의 증명방법을 제시하였다. 그 후 30년 동안 복소수 함수론을 발전시킨 결과 1896년에 아다마르(Hadamard)와 발레뿌셍(de le Vallee Poussin)이 소수정리를 증명함으로써 결실을 맺게 된다. 그의 논문에서 리만이 주장한 제타 함수의 영점의 위치에 대한 추측이 아직까지 해결되지 않은 채 남아있다.

Bernhard Riemann, 「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse」, 1859, p1~9;

이중섭, 「리만 가설」, 대한수학회, 2000 p1

2000년 5월 24일 미국의 클레이수학연구소에서 리만가설을 포함하여 7개의 수학에 커다란 발전을 가져올 새천년을 위한 미해결 문제를 선정하고 각각의 문제에 100만 달러의 상금을 제시하였다. 이리하여 리만가설은 이제 수학자에게 부와 명성을 동시에 거머쥘 수 있는 최고의 수학문제로 떠올랐다.

클레이 수학연구소, http://www.claymath.org;

이중섭, 「리만 가설」, 대한수학회, 2000 p1

본 논문은 리만의 가설에 대한 일련의 연구에 앞서 연구 대상과 연구 방법 등에 대한 기본적인 내용을 정리하여 연구의 전체적인 방향을 제시하기 위해 작성되었다.

"체계적인 논문들을 단계적으로 발표하는 가장 좋은 방법은, 단기간에 끝낼 수 있는 일련의 프로젝트들로 연구를 기획하는 것이다"

Peter J. Feibelman, 『박사학위로는 부족하다(A Ph.D Is Not Enough!)』, 북스힐, 2002, p65

2. 연구방법

본 논문에서는 리만가설의 배경이 되는 소수의 성질과 리만가설에 관한 역사적 배경을 간단히 정리하고, 리만가설의 개념을 명확히 하여 다른 미해결 문제의 해결 과정에 비교하여 리만가설에 접근방법을 모색해 보려고 한다. 리만가설의 외재적인 접근을 대상으로 하므로 리만가설을 통한 이론적 전개와 많은 전문적 지식이 필요한 연구는 생략하였다.

Ⅱ. 리만의 생애와 제타함수

1. 리만의 생애

E. T. Bell, 『수학을 만든 사람들 下』, 미래사 p241~270

베른하르트 리만은 1826년 9월 17일 하노버 왕국의 브레제렌쯔에서 태어났다. 1846년 괴팅겐 대학의 신학과에 입학하였다가 수학에 대한 열정으로 철학과로 전과하였다. 그 당시 괴팅겐 대학에는 천문학자인 골드슈미츠, 수학자 스턴, 그리고 위대한 수학자 가우스가 재직하고 있었다. 괴팅겐 대학에서 일년을 보낸 후 베를린 대학에 가서 2년간 연구하였다. 이 당시 베를린 대학에는 야코비, 스타이너, 디리클레, 아이젠슈타인 등의 수학자가 있었다.

리만은 「Grundlangen fűr eine allgemeine Theorie der Functionen einen veränderlichen complexen Grösse(복소함수의 일반적인 이론에 관한 기초)」의 논문으로 박사학위를 취득하였고 1857년에 그의 유명한 논문 「Theorie der Abelschen Functionen(아벨 함수의 이론에 관하여)」이 Crelle 수학저널의 54호에 게재되었다. 1859년에 자신의 유일한 수론 논문인 「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse」를 베를린 학술원에 제출하여 정식 회원으로 선정되었다.

리만이 괴팅겐 대학에서 강사직을 맡기 위해 제출한 논문에서는 리만적분을 정의하였고 삼각급수의 수렴에 관한 리만 조건을 발표하였으며, 강연에서는 거리공간, 곡률, n 차원공간의 기하학과 같은 리만기하학의 주된 개념을 도입하였다. 리만기하학의 특별한 경우로서는 타원적 비유클리드 기하학이 탄생하였다. 이 기하학에서 평행선이란 존재하지 않고 임의의 서로 다른 두 직선은 항상 만난다.

리만기하학의 개념은 후에 아인슈타인이 그의 상대성 일반이론을 전게하는 데 이용되었다.

리만이 1857년에 발표한 아벨 함수에 관한 논문에서는 Riemann Surface의 개념을 도입하여 Abel Integration과 Abel Function의 이론을 체계화하여 대수적 기하학의 중요 기초가 되는 대수적 함수에 관한 기본 정리를 증명하였다.

1855년 가우스가 죽자 디리클레가 가우스의 교수직을 승계하였다. 1859년 숙환으로 디리클레가 죽자 이 교수직을 리만이 계승하여 정교수가 되었다. 리만은 리만 기하학을 창시하였고 복소함수론, 아벨함수론, 소수의 분포 이론, 수리물리학 등의 분야에 뛰어난 업적을 남겼다.

1862년 결핵에 걸려 투병생활을 하였다. 병을 치료하기 위하여 날씨가 좋은 이탈리아에 가서 요양생활을 하였다. 1866년 7월 20일에 Selasca에서 짧은 생을 마감하였다.

2. 리만 이전의 소수의 분포 연구

양재현, 「리만 가설에 관하여」, 2000, p1~3

이중섭, 「리만 가설」, 대한수학회, 2000, p1~4

소수의 분포에 관하여 오일러, 르장드르, 가우스 등의 위대한 수학자들이 연구를 하였다. 오일러는 소수의 분포를 연구하기 위하여 제타함수

(1)[eqn: zeta(s)= SUM from {{n} =1} to inf 1 over n^s] (단 s는 실수)를 연구하였다. 그는 제타함수가

(2) [eqn: zeta(s)`=`prod_p` (1-p^-s )^-1]가 성립함을 증명하였다. [eqn: `prod_p`]는 모든 소수 p들의 곱을 나타낸다. (2)를 Euler Product라고 한다. 오일러는

(3)[eqn: `sum_p` 1 over p = inf] 임을 보였는데 이는 것은 소수의 개수가 무한하다는 유클리드 정리의 새로운 증명이다. 오일러의 연구가 갖는 중요한 의미는 제타함수가 소수의 분포와 관련되어 있다는 사실의 발견이며, 이 것은 해석학적 수론의 기원이라고 말할 수 있다.

주어진 실수 x를 넘지 않는 소수의 개수 [eqn: pi(x)]에 대하여 오일러는

(4)[eqn: lim from { x -> inf } { pi(x)} over { {x } over {ln x } } =1] (즉, ～)이라는 것을 가설로 제시하였다.

가우스는 이 것보다 한층 더 정확한 근사공식인

(5) ～를 발견하였지만 증명하지는 못하였다.

1854년 체비체프는 「Memoires de l'Academie des Sciences de Saint Petersburg」에서

(6) 〈〈  (여기서 0.992〈〈1이고, 1〈〈1.105)

의 부등식을 증명하였다. 그러나 체비체프는 (6)의 극한 값이 존재함을 증명하지는 못하였다.

3. 리만가설

리만의 논문「주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관하여(Ueber die Primzahlen unter einer gegeben Grӧsse)」를 살펴보면, 리만은 소수의 정리를 증명하기 위해 제타함수의 정의역을 복소수 평면 전체로 확장하였다. 기존에 오일러가 발견한 제타함수는 1보다 큰 실수 영역에서 정의되었지만 리만은 제타함수를 복소수 영역으로 확장하였다. 그는 감마함수의 적분표현을 이용하여 다음의 함수 방정식을 이용한다.

이 방정식은 제타함수가 Re(S)=에 대하여 대칭성을 갖고 있음을 보여준다. s=를 위 식의 좌변에 대입하여 얻어지는 함수를 라고 놓는다.

복소수 s=에서 실수 부분인 가 1/2인 것.

리만은 제타함수에 관하여 다음을 증명하였다.

기하서, 「리만가설」, 2001

(1) 는 s=1을 제외한 복소평면에서 해석적이다. s=1인 곳에서 =1 이다.

함수 f(x)가 를 둘러싸는 어떤 구간 에서 에 관한 power series (은 상수) 으로 표현 될 수 있다면, 이 함수는 에서 해석적이라고 한다.

전종득 외, 『미분방정식원론』, 교우사, 2000

(2) 라고 하면, 를 얻는다.

(3) 라 놓으면 가 성립한다.

리만은 제타 함수의 영점에 대하여 중요한 결과들을 얻었다. T가 양의 실수일 때, 의 영점 중에서 허수부분이 0보다 크고 T보다 적은 것들의 개수를 N(T)라고 하면 이다. 리만이 제타 함수의 영점에 관심을 가진 것은 그것이 소수의 분포와 불가분의 관계에 있다는 것을 인지하였기 때문이다. 리만은 위의 결과들을 이용하여 소수정리를 증명하는 과정을 기술하였다.

리만이 함수를 도입하면서 제타 함수의 대칭성을 근거로 0〈Re(s)〈1인 영역에서 제타함수의 모든 근이 Re(s)=1/2위에 있을 것이라고 가정한 것이 리만가설로 불리는 것이다.

Ⅲ. 리만 가설의 접근 방법에 대한 연구

1. 그리스의 3대 작도 문제

Keith Devlin, 『수학의 언어』, 해나무, 2003, p249~253

수학자들은 때때로 다른 분야의 기법을 도입하여 기존에 접근이 불가능했던 문제를 해결한 사례가 여러 차례 있었다. 그리스의 3대 작도 문제를 예로 들어 볼 수 있다.

그리스 3대 작도 문제는 ① 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하기, ② 부피가 두 배인 정육면체 작도하기, ③ 각의 3등분을 작도하기의 3가지로 이루어져 있다.

http://www.jego.or.kr/webmath/down/3대 작도 불능 문제.hwp

자와 캠퍼스만을 이용하여 작도할 수 있는 임의의 길이는, 정수에서 시작해서 일련의 덧셈, 뺄셈, 나눗셈, 그리고 제곱근 구하기만을 써서 얻을 수 있다. 즉 고대 그리스의 도구들을 이용해서 작도 가능한 길이는 오늘날 대수적인 수라 불리는 크기일 수 밖에 없다. 즉 그 길이는 다음과 같은 형태의 다항 방정식의 해로 얻어질 수 있다.

이 때 계수, ……, 은 모두 정수이다.

대수적이지 않은 실수를 초월수라고 한다. (초월수는 작도가 불가능하다.) 1882년 독일 수학자 린데만은 가 초월수라는 것을 증명하였다.

이로 인해 첫 번째 문제인 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 작도가 불가능함이 증명되었다. 반지름이 1인 원의 면적은 이다. 그러므로 단위원과 면적이 같은 정사각형을 작도할 수 있다면, 그 정사각형의 면적은 일 것이고, 따라서 한 변의 길이는일 것이다. 그러면 는 작도 가능한 수가 되고 따라서 가 작도 가능한 수가 됨을 의미한다. 이 결과는 린데만의 결론에 모순된다. 그러므로 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형은 작도가 불가능하다.

두 번째 문제인 한 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변의 길이를 구하는 문제이다. 부피가 1인 정육면체를 두 배로 만든다면 새로 만든 정육면체의 부피는 2일 것이고, 변의 길이는 일 것이다. 그러므로 대수학적으로 본다면, 정육면체를 두 배로 만들기 문제는 Field Theory를 이용하여 가 초월수임을 보임으로써 작도가 불가능함을 증명할 수 있다.

세 번째 문제인 각의 삼등분은 주어진 임의의 각에 대해서, 정확히 의 크기를 갖는 각을 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 것이다. 특정한 각에 대해서는 이 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 그러나 60°의 경우 작도가 불가능한 반례를 찾아 작도 불가능함을 반증할 수 있다. 삼각방정식을 이용하여 이를 증명할 수 있다.

[eqn: cos ``3`theta ``=`` cos` (2theta + theta)] [eqn: = cos 2theta cos theta - sin 2theta sin theta] 에서 [eqn: theta `=` 20 DEG]이면 [eqn: cos ``3`theta`` =`` 1over2]이다. [eqn: alpha ``= ``cos`` 20 DEG]라 하자. 위의 등식에서 [eqn: 4` alpha^3 ``-`` 3`alpha`` =`` 1over2`]임을 알 수 있다. 그런데 Field Theory를 이용하여 이 방정식을 만족하는 가 초월수임을 증명할 수 있다.

고대 그리스의 3대 작도에 관한 문제는 기하학에서 시작되었으나 19세기의 대수학적 방법의 도입으로 해결되었다. 수학에서 서로 다른 영역의 연구 방법을 도입하여 연구하는 추세가 늘어나고 있으며 리만가설의 해결에도 다른 영역의 접근 방법을 도입하면 도움이 될 것으로 보인다.

2. 괴델의 불완전성의 정리

1931년 독일의 수학자 쿠르드 괴델은 「수학 원리와 관련 체계에서 형식적으로 결정할 수 없는 명제에 대하여(Űber formal unentsheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme)」라는 논문에서 20세기 수학에 가장 큰 영향을 준 불완전성의 정리를 발표하였다. 그 내용을 간단히 살펴보면 다음과 같다.

Ernest Nagel, 『괴델의 증명』, 경문사, 2003, p13~17

"현재의 산술체계가 모순이 없으면 그 체계는 불완전하다"로 정리할 수 있다. 즉, "그 체계의 어떠한 명제가 참이지만, 그 명제와 그것의 부정명제 모두가 증명되지 않은 명제가 존재한다."는 뜻이다. 사실은 이 정리를 제 1 불완전성정리라고 한다. 괴델은 그의 제 2 불완전성정리 에서 이 같은 기대에 상반되는 결과를  얻었다. 그의 제2불완전성정리에 따르면 "자연수론을 포함하는 공리론적 이론체계(수학의 대부분의 이론체계가 이에 해당됨)가 모순이 없으면, 그 체계의 무모순성을 그 체계 안에서는 증명할 수 없다."

임정대, 「괴델의 불완전성 정리」 http://sang1475.com.ne.kr/data/0042.hwp

괴델의 이론을 더 확장시켜보면 어느 수학적 명제가 참이라 하여도 그 명제를 증명 불가능할 수 있다는 것이다. 어떤 명제가 속한 공리계에서 그 명제가 증명 불가능한 경우를 ‘명제가 공리계와 독립이다’라고 한다. 이 경우 문제를 해결하기 위해서는 문제해결에 도움을 줄 수 있는 새로운 공리계를 도입하여야 문제를 해결할 수 있다.

Ⅳ. Conclusion

리만의 생애와 리만 이전의 소수정리에 관한 연구를 바탕으로 리만가설을 정리해 보고 리만 가설의 해결에 도움을 줄 수 있을 두 가지 현대 수학의 사건을 살펴보았다.

오랫동안 수학자들은 리만가설에 도전해 왔다. 리만의 가설에는 근접하였으나 어느 누구도 리만의 가설이 참이라는 것을 증명하지 못하고 있다.   그 시대의 유행에 따라 사람들은 수학을 한다. 그러나 위대한 문제들은 유행과 무관하게 새로운 위대한 철학적 배경을 갖고 새로운 사람에 의해 해결되어 왔다. 연세대학교의 기하서 교수는 “많은 수의 수학자들이 (리만가설이) 조만간 풀릴 것이라는 희망을 버린 것처럼 보인다.”라고 하였으며 E. T. 벨은 “리만가설은 초보적인 방법으로 공략될 수 있는 종류의 문제가 아니다.” 라고 말했다. 리만가설을 전혀 다른 분야에서 수많은 사람들이 도전해 왔으나 그 누구도 새로운 지평을 열지 못하고 있다.

실비아 네이사, 『뷰티풀 마인드』, 승산, 2000, p429

리만가설의 해결에 있어서 새로운 방법으로의 접근이 요구되고 있다.

Ⅴ. 참고문헌

1. 논문

양재현, 「리만 가설에 관하여」, 2000

이중섭, 「리만 가설」, 대한수학회, 2000

기하서, 「리만가설」, 2001

임정대, 「괴델의 불완전성 정리」 http://sang1475.com.ne.kr/data/0042.hwp

Bernhard Riemann, 「Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse」, 1859

2. 도서

전종득 외, 『미분방정식원론』, 교우사, 2000

실비아 네이사, 『뷰티풀 마인드』, 승산, 2000

Ernest Nagel, 『괴델의 증명』, 경문사, 2003,

Keith Devlin, 『수학의 언어』, 해나무, 2003

Peter J. Feibelman, 『박사학위로는 부족하다(A Ph.D Is Not Enough!)』, 북스힐, 2002

E. T. Bell, 『수학을 만든 사람들 下』, 미래사, 2002

3. 인터넷

클레이 수학연구소, http://www.claymath.org/